3. สมการและอสมการ

3.3 เคล็ดลับการแก้โจทย์สมการซับซ้อนด้วยการแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้สมการเชิงพหุนามที่ซับซ้อน โดยเฉพาะสมการที่มีรูปแบบกำลังสองหรือพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบได้ ขั้นตอนนี้ช่วยให้สมการซับซ้อนลดรูปลงเป็นสมการง่ายที่สามารถแก้ได้โดยตรง

ตัวอย่างที่ 1: การแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

สมการ: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

ขั้นตอนที่ 1: หาเลขที่คูณกันได้เท่ากับ \( 6 \) และบวกกันได้เท่ากับ \( -5 \) ในที่นี้คือ \( -2 \) และ \( -3 \)

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]

ขั้นตอนที่ 2: แยกสมการเป็นสองสมการย่อย:

\[ x - 2 = 0 \quad \text{หรือ} \quad x - 3 = 0 \]

คำตอบคือ \( x = 2 \) หรือ \( x = 3 \)

ตัวอย่างที่ 2: การแยกตัวประกอบสมการที่ซับซ้อนขึ้น

สมการ: \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

ขั้นตอนที่ 1: แยกตัวประกอบร่วม (\( 2 \)) ออกมาก่อน:

\[ 2(x^2 - 2x - 3) = 0 \]

ขั้นตอนที่ 2: แยกตัวประกอบพหุนาม \( x^2 - 2x - 3 \) โดยหาเลขที่คูณกันได้เท่ากับ \( -3 \) และบวกกันได้เท่ากับ \( -2 \) ในที่นี้คือ \( -3 \) และ \( 1 \)

\[ 2(x - 3)(x + 1) = 0 \]

ขั้นตอนที่ 3: แยกสมการเป็นสองสมการย่อย:

\[ x - 3 = 0 \quad \text{หรือ} \quad x + 1 = 0 \]

คำตอบคือ \( x = 3 \) หรือ \( x = -1 \)

เคล็ดลับสำคัญในการแก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบคือการตรวจสอบว่าพหุนามนั้นสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ หากสามารถทำได้ การแก้สมการจะง่ายขึ้นอย่างมาก เนื่องจากเราสามารถลดสมการให้เป็นสมการเชิงเส้นที่แก้ไขได้โดยตรง