2. เลขยกกำลังและลอการิทึม

2.2 การแก้ปัญหาด้วยลอการิทึมในสถานการณ์ต่างๆ

ลอการิทึม (Logarithms) ถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเจริญเติบโตแบบทวีคูณ (Exponential Growth) และการลดลงแบบทวีคูณ (Exponential Decay) ตัวอย่างหนึ่งคือการหาค่าครึ่งชีวิต (Half-Life) ของสารกัมมันตรังสี

สมมติว่าเรามีสารกัมมันตรังสีที่มีค่าครึ่งชีวิตเท่ากับ 5 ปี และเราต้องการทราบว่าหลังจาก 20 ปีจะเหลือสารกัมมันตรังสีอยู่กี่เปอร์เซ็นต์ เราสามารถใช้สมการลอการิทึมเพื่อหาคำตอบได้

สูตรที่ใช้คือ: \[ N(t) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \] โดยที่ \( N(t) \) คือปริมาณของสารที่เหลืออยู่, \( N_0 \) คือปริมาณเริ่มต้นของสาร, \( t \) คือเวลา และ \( T \) คือค่าครึ่งชีวิต

แทนค่าด้วย \( t = 20 \) และ \( T = 5 \): \[ N(20) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{20}{5}} = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = N_0 \times \frac{1}{16} \] ดังนั้น หลังจาก 20 ปี สารกัมมันตรังสีจะเหลืออยู่เพียง \( \frac{1}{16} \) หรือ 6.25% ของปริมาณเริ่มต้น

นอกจากการหาค่าครึ่งชีวิตแล้ว ลอการิทึมยังสามารถใช้ในการคำนวณด้านอื่นๆ เช่น การคำนวณค่าดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) และการคาดการณ์การเติบโตของประชากร

สมมติว่าเรามีการลงทุนที่เติบโตแบบทบต้นโดยมีอัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี และเราต้องการทราบว่ากี่ปีเงินลงทุนจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า สามารถใช้ลอการิทึมเพื่อหาคำตอบได้ดังนี้:

สูตรการคำนวณคือ: \[ A = P \times \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^t \] โดยที่ \( A \) คือจำนวนเงินสุดท้าย, \( P \) คือจำนวนเงินเริ่มต้น, \( r \) คืออัตราดอกเบี้ย และ \( t \) คือเวลาเป็นปี

เมื่อ \( A = 2P \) และ \( r = 5 \), แทนค่าสมการเป็น: \[ 2P = P \times \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^t \] ตัด \( P \) ออกไปจะได้: \[ 2 = \left( 1.05 \right)^t \] ใช้ลอการิทึมทั้งสองข้าง: \[ \log 2 = t \times \log 1.05 \] ดังนั้น \( t = \frac{\log 2}{\log 1.05} \approx 14.21 \) ปี

ดังนั้น การลงทุนจะใช้เวลาประมาณ 14.21 ปีในการเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า