8. คณิตศาสตร์ในวิศวกรรมศาสตร์

8.2 การใช้คณิตศาสตร์ในโครงสร้างและการออกแบบระบบ

คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในการออกแบบโครงสร้างและระบบต่างๆ ในสาขาวิศวกรรม ไม่ว่าจะเป็นการออกแบบอาคาร สะพาน ระบบไฟฟ้า หรือระบบควบคุมอัตโนมัติ การใช้คณิตศาสตร์ในการคำนวณความแข็งแรง ความมั่นคง และประสิทธิภาพของโครงสร้าง รวมไปถึงการออกแบบระบบที่ซับซ้อน เช่น ระบบทางกลและไฟฟ้า จะช่วยให้สามารถสร้างระบบที่มีประสิทธิภาพและปลอดภัยได้

การคำนวณแรงและโมเมนต์ในโครงสร้าง

ในการออกแบบโครงสร้าง เช่น อาคารหรือสะพาน วิศวกรต้องคำนวณแรงที่กระทำกับโครงสร้างทั้งในแนวดิ่งและแนวนอน เพื่อให้มั่นใจว่าโครงสร้างจะมีความมั่นคงและปลอดภัย สมการที่สำคัญในการคำนวณแรงและโมเมนต์ ได้แก่:

$$\sum \mathbf{F}=0\text{และ}\sum \mathbf{M}=0$$

โดยที่ผลรวมของแรง ($\mathbf{F}$) และผลรวมของโมเมนต์ ($\mathbf{M}$) ต้องเท่ากับศูนย์ เพื่อให้ระบบอยู่ในสมดุล ตัวอย่างเช่น ในการออกแบบเสาในอาคารที่ต้องรับน้ำหนักจากด้านบน ต้องคำนวณแรงกดที่เสาและตรวจสอบว่าเสามีความแข็งแรงเพียงพอที่จะรับแรงนี้ได้

ตัวอย่างการคำนวณแรงในโครงสร้าง

สมมติว่าเสาต้นหนึ่งต้องรับน้ำหนักจากหลังคา ขนาด $20,000\text{N}$ และเสานี้มีพื้นที่หน้าตัด $0.1{\text{m}}^2$ แรงกดที่เสานี้สามารถคำนวณได้จากความดัน $P$ ดังนี้:

$$P=\frac{F}{A}$$

โดยที่:

• $P$ คือความดันที่กระทำต่อเสา
• $F$ คือแรงที่กระทำต่อเสา
• $A$ คือพื้นที่หน้าตัดของเสา

แทนค่าลงในสมการ:

$$P=\frac{20,000\text{N}}{0.1{\text{m}}^2}=200,000{\text{N/m}}^2$$

ดังนั้น ความดันที่กระทำกับเสาคือ $200,000{\text{N/m}}^2$

การใช้คณิตศาสตร์ในระบบควบคุม

ในการออกแบบระบบควบคุม เช่น ระบบควบคุมอัตโนมัติในโรงงานอุตสาหกรรม หรือระบบควบคุมอุณหภูมิในอาคาร วิศวกรใช้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์และออกแบบระบบเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อวิเคราะห์การตอบสนองของระบบต่อการเปลี่ยนแปลงของอินพุต เช่น:

$$\frac{dy}{dt}+ay=bu$$

โดยที่:

• $y$ คือเอาต์พุตของระบบ
• $u$ คืออินพุตของระบบ
• $a$ และ $b$ คือค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับลักษณะของระบบ

สมการนี้สามารถใช้ในการคำนวณพฤติกรรมของระบบควบคุมในสถานการณ์ต่างๆ และช่วยให้ออกแบบระบบให้ทำงานได้ตามที่ต้องการ

ตัวอย่างการออกแบบระบบควบคุมอุณหภูมิ

สมมติว่ามีระบบควบคุมอุณหภูมิในห้องที่ต้องการรักษาอุณหภูมิที่ ${25}^{\circ }\text{C}$ ระบบใช้เซ็นเซอร์ในการตรวจวัดอุณหภูมิและปรับเครื่องปรับอากาศตามการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ สมการควบคุมอาจมีรูปแบบดังนี้:

$$\frac{dT}{dt}+kT=k{T}_s$$

โดยที่:

• $T$ คืออุณหภูมิในห้อง
• $T_s$ คืออุณหภูมิที่ตั้งไว้ (${25}^{\circ }\text{C}$)
• $k$ คือค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับลักษณะการทำงานของระบบปรับอากาศ

สมการนี้สามารถใช้ในการคำนวณการปรับเครื่องปรับอากาศให้ทำงานเพื่อรักษาอุณหภูมิที่ต้องการ

การใช้คณิตศาสตร์ในการออกแบบโครงสร้างและระบบควบคุมเป็นเครื่องมือที่สำคัญที่ช่วยให้วิศวกรสามารถออกแบบระบบที่มีประสิทธิภาพ ปลอดภัย และตอบสนองต่อความต้องการของผู้ใช้งานได้อย่างแม่นยำ