7. เมทริกซ์และเวกเตอร์

7.3 วิธีการแปลงระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์อย่างง่าย

การแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้เป็นเมทริกซ์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้สมการหลายตัวแปรพร้อมกัน โดยใช้การคูณเมทริกซ์และการดำเนินการอื่นๆ การแปลงนี้ช่วยให้ระบบสมการที่ซับซ้อนสามารถแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็ว

ขั้นตอนการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีรูปแบบดังนี้:

\[ \begin{aligned} 2x + 3y &= 5 \\ 4x - y &= 3 \end{aligned} \]

เราสามารถแปลงระบบสมการนี้เป็นรูปของเมทริกซ์ได้ดังนี้:

ขั้นตอนที่ 1: แยกค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรออกมาเป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \]

โดยที่เมทริกซ์ \( A \) คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

ขั้นตอนที่ 2: แยกตัวแปรออกมาเป็นเวกเตอร์ของตัวแปร

\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

โดยที่เวกเตอร์ \( \mathbf{x} \) แทนตัวแปร \( x \) และ \( y \)

ขั้นตอนที่ 3: แยกค่าคงที่ออกมาเป็นเวกเตอร์ของผลลัพธ์

\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \]

โดยที่เวกเตอร์ \( \mathbf{b} \) แทนผลลัพธ์ของสมการ

ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเขียนใหม่เป็นรูปเมทริกซ์ดังนี้:

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \]

ขั้นตอนการแก้สมการด้วยเมทริกซ์

เมื่อแปลงระบบสมการเป็นรูปของเมทริกซ์แล้ว เราสามารถใช้วิธีการคำนวณเมทริกซ์ เช่น การทำอินเวอร์สเมทริกซ์ (Matrix Inversion) หรือการใช้วิธีการลดแกาส์ (Gauss Elimination) เพื่อแก้ระบบสมการได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่เมทริกซ์ \( A \) เป็นเมทริกซ์ที่สามารถหาค่าอินเวอร์สได้ เราสามารถแก้สมการได้โดยใช้สมการดังนี้:

\[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]

โดยที่ \( A^{-1} \) คืออินเวอร์สของเมทริกซ์ \( A \) หลังจากที่เราได้อินเวอร์สเมทริกซ์แล้ว เราก็สามารถคูณกับเวกเตอร์ของผลลัพธ์ \( \mathbf{b} \) เพื่อหาค่าของตัวแปร \( x \) และ \( y \)

ตัวอย่างการคำนวณอินเวอร์สของเมทริกซ์

สมมติว่าเมทริกซ์ \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \) เราสามารถหาค่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ \( A \) ได้โดยใช้สูตรอินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด \( 2 \times 2 \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

โดยที่ \( \text{det}(A) \) คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ \( A \)

การแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ช่วยให้การแก้สมการที่ซับซ้อนง่ายขึ้นและเป็นระบบมากขึ้น นอกจากนี้ยังเป็นวิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมในการคำนวณเชิงตัวเลขและการวิเคราะห์ข้อมูล