6. ฟังก์ชันและกราฟ

6.3 เคล็ดลับการหาจุดตัดของกราฟและการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์

การหาจุดตัดของกราฟเป็นหนึ่งในเทคนิคที่สำคัญในการวิเคราะห์สมการหลายตัวแปร การหาจุดที่กราฟสองเส้นตัดกันช่วยให้เราสามารถแก้สมการหลายสมการพร้อมกันได้ นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์ เช่น การคำนวณจุดสมดุลของปฏิกิริยาเคมี หรือการคำนวณจุดที่ความเร็วของวัตถุเท่ากับศูนย์

เคล็ดลับการหาจุดตัดของกราฟ

จุดตัดของกราฟคือจุดที่กราฟของสมการสองสมการมีค่า $x$ และ $y$ เท่ากัน ซึ่งสามารถหาจุดตัดได้ด้วยการตั้งสมการของกราฟทั้งสองเส้นเท่ากันแล้วแก้สมการดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 1: การหาจุดตัดของกราฟเชิงเส้น

พิจารณาสมการของเส้นตรงสองเส้น:

$$y=2x+1\text{และ}y=-x+4$$

เพื่อหาจุดตัด ให้ตั้งสมการเท่ากัน:

$$2x+1=-x+4$$

ย้ายข้างและแก้สมการ:

$$2x+x=4-1$$ $$3x=3\Rightarrow x=1$$

แทนค่า $x=1$ ลงในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อหาค่า $y$:

$$y=2(1)+1=3$$

ดังนั้น จุดตัดของกราฟคือ $(1,3)$

---

ตัวอย่างที่ 2: การหาจุดตัดของกราฟไม่เชิงเส้น

พิจารณาสมการกราฟของพาราโบลาและเส้นตรง:

$$y=x^2-4x+3\text{และ}y=2x-1$$

ตั้งสมการเท่ากันเพื่อหาจุดตัด:

$$x^2-4x+3=2x-1$$

ย้ายข้างและแก้สมการกำลังสอง:

$$x^2-6x+4=0$$

ใช้สูตรการแก้สมการกำลังสอง:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4(1)(4)}}{2(1)}=\frac{6\pm \sqrt{36-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}$$ $$x=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm \sqrt{5}$$

ดังนั้น จุดตัดของกราฟคือ $x=3+\sqrt{5}$ และ $x=3-\sqrt{5}$

แทนค่า $x$ ลงในสมการเส้นตรงเพื่อหาค่า $y$

---

การประยุกต์ใช้ในการวิทยาศาสตร์

การหาจุดตัดของกราฟมีการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขาวิทยาศาสตร์ เช่น:

• ในปฏิกิริยาเคมี: การคำนวณจุดสมดุลของปฏิกิริยาเคมีโดยใช้กราฟของความเข้มข้นของสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์
• ในฟิสิกส์: การหาจุดที่ความเร็วของวัตถุเป็นศูนย์เพื่อคำนวณจุดสูงสุดในการเคลื่อนที่ของวัตถุ
• ในเศรษฐศาสตร์: การหาจุดตัดของกราฟอุปสงค์และอุปทานเพื่อหาจุดสมดุลตลาด

การหาจุดตัดของกราฟเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์และคำนวณได้อย่างแม่นยำในหลากหลายสถานการณ์