7. เมทริกซ์และเวกเตอร์
7.2 เทคนิคการคำนวณและประยุกต์ใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ (ต่อ)
การวิเคราะห์การเคลื่อนที่
ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ เวกเตอร์สามารถใช้ในการแสดงความเร็วและการกระจัด ตัวอย่างเช่น หากวัตถุเคลื่อนที่ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยความเร็ว \( 10 \, \text{m/s} \) และมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางอย่างต่อเนื่อง เราสามารถใช้เวกเตอร์ในการคำนวณความเร็วและการกระจัดเพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ
การใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์และคำนวณปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่มีทิศทางและขนาดได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์แรง การเคลื่อนที่ หรือการออกแบบโครงสร้าง
ตัวอย่างที่ 2: การวิเคราะห์การเคลื่อนที่
สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยความเร็ว \( 10 \, \text{m/s} \) ในทิศทำมุม \( 45^\circ \) กับแกน \( x \) เราสามารถแยกเวกเตอร์ความเร็วออกเป็นองค์ประกอบในทิศแกน \( x \) และแกน \( y \) ได้ ดังนี้:
ขั้นตอนที่ 1: แยกความเร็วเป็นองค์ประกอบในทิศแกน \( x \) และ \( y \)
ใช้กฎของตรีโกณมิติในการแยกเวกเตอร์ความเร็ว:
\[ v_x = v \cdot \cos \theta \quad \text{และ} \quad v_y = v \cdot \sin \theta \]
โดยที่:
- \( v \) คือขนาดของความเร็ว
- \( \theta \) คือมุมที่ทำกับแกน \( x \)
แทนค่าความเร็ว \( v = 10 \, \text{m/s} \) และ \( \theta = 45^\circ \):
\[ v_x = 10 \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 7.07 \, \text{m/s} \] \[ v_y = 10 \cdot \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 7.07 \, \text{m/s} \]
ดังนั้น ความเร็วในทิศแกน \( x \) คือ \( 7.07 \, \text{m/s} \) และความเร็วในทิศแกน \( y \) คือ \( 7.07 \, \text{m/s} \)
ขั้นตอนที่ 2: การคำนวณการกระจัด
สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นเวลา \( 5 \, \text{วินาที} \) เราสามารถคำนวณการกระจัดในแต่ละแกนได้ดังนี้:
\[ \Delta x = v_x \cdot t = 7.07 \, \text{m/s} \times 5 \, \text{s} = 35.35 \, \text{m} \] \[ \Delta y = v_y \cdot t = 7.07 \, \text{m/s} \times 5 \, \text{s} = 35.35 \, \text{m} \]
ดังนั้น การกระจัดในทิศแกน \( x \) และ \( y \) เท่ากับ \( 35.35 \, \text{m} \)
ขั้นตอนที่ 3: การหาการกระจัดรวม
การกระจัดรวมสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส:
\[ \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{(35.35)^2 + (35.35)^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} \approx 70.71 \, \text{m} \]
ดังนั้น การกระจัดรวมคือ \( 70.71 \, \text{m} \)
