7. เมทริกซ์และเวกเตอร์

7.2 เทคนิคการคำนวณและประยุกต์ใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ (ต่อ)

การวิเคราะห์การเคลื่อนที่

ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ เวกเตอร์สามารถใช้ในการแสดงความเร็วและการกระจัด ตัวอย่างเช่น หากวัตถุเคลื่อนที่ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยความเร็ว $10\text{m/s}$ และมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางอย่างต่อเนื่อง เราสามารถใช้เวกเตอร์ในการคำนวณความเร็วและการกระจัดเพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ

การใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์และคำนวณปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่มีทิศทางและขนาดได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์แรง การเคลื่อนที่ หรือการออกแบบโครงสร้าง

ตัวอย่างที่ 2: การวิเคราะห์การเคลื่อนที่

สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยความเร็ว $10\text{m/s}$ ในทิศทำมุม ${45}^{\circ }$ กับแกน $x$ เราสามารถแยกเวกเตอร์ความเร็วออกเป็นองค์ประกอบในทิศแกน $x$ และแกน $y$ ได้ ดังนี้:

ขั้นตอนที่ 1: แยกความเร็วเป็นองค์ประกอบในทิศแกน $x$ และ $y$

ใช้กฎของตรีโกณมิติในการแยกเวกเตอร์ความเร็ว:

$$v_x=v\cdot \cos \theta \text{และ}{v}_y=v\cdot \sin \theta$$

โดยที่:

• $v$ คือขนาดของความเร็ว
• $\theta$ คือมุมที่ทำกับแกน $x$

แทนค่าความเร็ว $v=10\text{m/s}$ และ $\theta ={45}^{\circ }$:

$$v_x=10\cdot \cos {45}^{\circ }=10\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 7.07\text{m/s}$$ $$v_y=10\cdot \sin {45}^{\circ }=10\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 7.07\text{m/s}$$

ดังนั้น ความเร็วในทิศแกน $x$ คือ $7.07\text{m/s}$ และความเร็วในทิศแกน $y$ คือ $7.07\text{m/s}$

ขั้นตอนที่ 2: การคำนวณการกระจัด

สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นเวลา $5\text{วินาที}$ เราสามารถคำนวณการกระจัดในแต่ละแกนได้ดังนี้:

$$\mathrm{\Delta }x=v_x\cdot t=7.07\text{m/s}\times 5\text{s}=35.35\text{m}$$ $$\mathrm{\Delta }y=v_y\cdot t=7.07\text{m/s}\times 5\text{s}=35.35\text{m}$$

ดังนั้น การกระจัดในทิศแกน $x$ และ $y$ เท่ากับ $35.35\text{m}$

ขั้นตอนที่ 3: การหาการกระจัดรวม

การกระจัดรวมสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส:

$$\mathrm{\Delta }r=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}=\sqrt{(35.35{)}^2+(35.35{)}^2}=\sqrt{2500+2500}=\sqrt{5000}\approx 70.71\text{m}$$

ดังนั้น การกระจัดรวมคือ $70.71\text{m}$