6. ฟังก์ชันและกราฟ
6.2 การวิเคราะห์กราฟฟังก์ชันและการแปรผัน
การวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันเป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมและการแปรผันของฟังก์ชัน การแปรผันหมายถึงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตามค่าของตัวแปร ซึ่งอาจมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นหรือลดลง การศึกษากราฟช่วยให้เราระบุได้ว่าฟังก์ชันมีจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดที่ใด และพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อค่าตัวแปรเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง
การวิเคราะห์กราฟฟังก์ชัน
การวิเคราะห์กราฟฟังก์ชันช่วยให้เราเข้าใจคุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชัน เช่น จุดตัดแกน \( x \) และแกน \( y \), จุดสูงสุดและจุดต่ำสุด (Maxima และ Minima), และการแปรผันในช่วงต่างๆ
ตัวอย่างที่ 1: การวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น
พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้น \( y = 2x + 1 \) กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรงที่มีความชันเป็นบวก ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มเพิ่มขึ้นเมื่อ \( x \) เพิ่มขึ้น
จุดตัดแกน \( y \) ของฟังก์ชันคือ \( c = 1 \) ดังนั้น กราฟจะตัดแกน \( y \) ที่จุด (0,1) จุดตัดแกน \( x \) จะเกิดขึ้นเมื่อ \( y = 0 \):
\[ 0 = 2x + 1 \] \[ 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} \]
ดังนั้น กราฟจะตัดแกน \( x \) ที่จุด \( \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \)
ตัวอย่างที่ 2: การวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
พิจารณาฟังก์ชันกำลังสอง \( y = x^2 - 4x + 3 \) กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะเป็นพาราโบลาเปิดขึ้น และมีจุดต่ำสุด (Minimum Point)
ในการวิเคราะห์กราฟ เราสามารถหาจุดต่ำสุดได้โดยใช้การหาค่าจุดยอด (Vertex) ของพาราโบลา ซึ่งสามารถคำนวณได้จากสมการ:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
โดย \( a = 1 \) และ \( b = -4 \):
\[ x = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \]
แทนค่าลงในสมการเพื่อหาค่า \( y \) ที่จุด \( x = 2 \):
\[ y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]
ดังนั้น จุดต่ำสุดของพาราโบลาคือจุด \( (2, -1) \)
กราฟจะตัดแกน \( y \) ที่จุด \( (0, 3) \) และตัดแกน \( x \) ที่จุด \( (1, 0) \) และ \( (3, 0) \)
การแปรผันของฟังก์ชัน
การแปรผันของฟังก์ชันสามารถแบ่งเป็นสองประเภทหลัก: การแปรผันเพิ่มขึ้น (Increasing) และการแปรผันลดลง (Decreasing) ฟังก์ชันที่มีการแปรผันเพิ่มขึ้นจะมีค่าของ \( y \) เพิ่มขึ้นเมื่อ \( x \) เพิ่มขึ้น ในขณะที่ฟังก์ชันที่มีการแปรผันลดลงจะมีค่าของ \( y \) ลดลงเมื่อ \( x \) เพิ่มขึ้น
- ฟังก์ชันเชิงเส้นเช่น \( y = 2x + 1 \) เป็นฟังก์ชันที่มีการแปรผันเพิ่มขึ้นตลอดเวลา
- ฟังก์ชันกำลังสอง \( y = x^2 - 4x + 3 \) จะมีการแปรผันลดลงในช่วงก่อนถึงจุดต่ำสุด และมีการแปรผันเพิ่มขึ้นหลังจากจุดต่ำสุด
การวิเคราะห์กราฟและการแปรผันของฟังก์ชันช่วยให้เรามองเห็นภาพรวมของพฤติกรรมของฟังก์ชันได้ดีขึ้น และสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของค่าตัวแปรได้อย่างแม่นยำ
