7. เมทริกซ์และเวกเตอร์

7.2 เทคนิคการคำนวณและประยุกต์ใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในฟิสิกส์และวิศวกรรม โดยใช้ในการแสดงทั้งขนาดและทิศทางของปริมาณทางกายภาพ เช่น แรง ความเร็ว และการกระจัด เวกเตอร์มีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์และแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่และแรงในระบบที่มีหลายมิติ

การคำนวณเวกเตอร์

การคำนวณเวกเตอร์สามารถทำได้หลายวิธี เช่น การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ และการคำนวณเวกเตอร์ดอทโปรดักต์ (Dot Product) หรือครอสโปรดักต์ (Cross Product)

ตัวอย่างที่ 1: การบวกเวกเตอร์

สมมติว่ามีเวกเตอร์สองตัว \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) และ \( \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \) การบวกเวกเตอร์สามารถทำได้โดยการบวกแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์:

\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \]

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์คือ \( \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \)

ตัวอย่างที่ 2: การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

สมมติว่าเวกเตอร์ \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) และมีสเกลาร์ \( k = 2 \) การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์สามารถทำได้โดยการคูณสเกลาร์กับทุกองค์ประกอบของเวกเตอร์:

\[ k \cdot \mathbf{A} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \]

ดังนั้น ผลลัพธ์คือ \( \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \)

การประยุกต์ใช้เวกเตอร์ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1: การวิเคราะห์แรงในระบบหลายมิติ

ในฟิสิกส์และวิศวกรรม เวกเตอร์ถูกใช้ในการวิเคราะห์แรงที่กระทำต่อวัตถุในหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่น การคำนวณแรงลัพธ์ในระบบที่มีแรงหลายแรงกระทำอยู่ โดยการบวกเวกเตอร์ของแรงเหล่านั้นเพื่อหาทิศทางและขนาดของแรงลัพธ์

สมมติว่ามีแรงสองแรงกระทำต่อวัตถุ โดยแรงแรกมีขนาด \( 5 \, \text{N} \) ในทิศทางตะวันออก และแรงที่สองมีขนาด \( 3 \, \text{N} \) ในทิศทางเหนือ เราสามารถแทนแรงทั้งสองด้วยเวกเตอร์และบวกเวกเตอร์เพื่อหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์:

\[ \mathbf{F_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{F_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{F_\text{resultant}} = \mathbf{F_1} + \mathbf{F_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \]

ขนาดของแรงลัพธ์สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส:

\[ |\mathbf{F_\text{resultant}}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \, \text{N} \]

ทิศทางของแรงลัพธ์สามารถคำนวณได้จากมุมของแรงลัพธ์กับแกน \( x \):

\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]

ดังนั้น แรงลัพธ์มีขนาดประมาณ \( 5.83 \, \text{N} \) และทำมุมประมาณ \( 30.96^\circ \) กับทิศตะวันออก