9. การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน

9.1 การแก้ปัญหาด้วยวิธีคิดย้อนกลับ (2/3)

ตัวอย่างที่ 2: การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตด้วยวิธีคิดย้อนกลับ

ปัญหา:

สมมติว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากว่าเท่ากับ 5 หน่วย และต้องการหาค่าของมุม \( \theta \) ที่อยู่ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประชิดที่ยาว 4 หน่วย

ขั้นตอนการคำนวณ

ขั้นตอนที่ 1: ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสในการหาค่าด้านที่เหลือ

จากทฤษฎีพีทาโกรัส เรารู้ว่า สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

โดยที่ \( c \) คือด้านตรงข้ามมุมฉาก (5 หน่วย), \( a \) และ \( b \) คือด้านประชิดมุมฉาก

สมมติว่า \( a = 4 \, \text{หน่วย} \), ดังนั้นเราสามารถหา \( b \) ได้จากสมการ:

\[ 5^2 = 4^2 + b^2 \] \[ 25 = 16 + b^2 \] \[ b^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ b = \sqrt{9} = 3 \, \text{หน่วย} \]

ดังนั้น ความยาวของด้านที่เหลือ \( b \) คือ 3 หน่วย

ขั้นตอนที่ 2: ใช้สมการตรีโกณมิติในการหาค่ามุม \( \theta \)

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เราสามารถใช้สมการตรีโกณมิติในการหามุม \( \theta \) ได้จากอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด โดยใช้ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tangent):

\[ \tan \theta = \frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านประชิด}} = \frac{3}{4} \]

เพื่อหาค่ามุม \( \theta \) เราใช้ฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผัน (inverse tangent):

\[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \]

เมื่อคำนวณค่า \( \theta \):

\[ \theta \approx 36.87^\circ \]

ดังนั้น มุม \( \theta \) มีค่าประมาณ \( 36.87^\circ \)

สรุป:

โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสและสมการตรีโกณมิติ เราสามารถใช้วิธีคิดย้อนกลับในการหาค่ามุม \( \theta \) ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างแม่นยำ ขั้นตอนนี้เป็นตัวอย่างของการเริ่มต้นจากความรู้เกี่ยวกับด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยมเพื่อหามุมที่ต้องการ